生命のらせんの不思議

自然界には「らせん」がたくさんあります。「生命のらせん」です。
詳しくは【
はまぐりの数学】のページへ      
葉序:植物の葉は、茎の周りをらせん状にでてきます。
これらは全てつながりがあります。
ユークリッドの世界】へ
タンポポの種はらせん状に生えています。
左上の種が飛んだ後を見てください。
植物のらせんは、
[アルキメデスのらせん]
となります。
貝は[等角らせん]です。あわびは巻貝です。
巻貝も二枚貝も
ともに等角らせんを
描きます。
松かさにも、らせんを見ることができます。でも、これは人間が勝手に見ているだけで植物はらせんを描こうとしているわけではありません。
松かさのらせんはアルキメデスのらせんです。
 
33、「まつぼっくり」をロゴで作ってみよう

松の枝にもらせんが表れます。このうろこは大きくなると消えます。らせんは松かさと同じです。
  

ひまわりの枝は茎のまわりをらせん状に回転して出ています。
右のオウムガイはきれいな等角らせんを描いています。
植物のアルキメデスらせんは何本もあります。その数を数えると、
フィボナッチ数が出てきます。
松かさは 5+8=13

サボテンは 8+13=21

ひまわりは 55+89=144

31、分数多角形で植物をしらべよう! 「まつぼっくり」の研究
台風のらせんと星雲のらせんはとてもよく似ていると思いませんか。
調べて見るとどちらも等角らせんを描いています。

孔雀の目の玉模様を
見ていると、やはり
らせんを描いています。

カリフラワーはフラクタルになっています。
正5角形の塊があるのが見えるでしょうか。
パイナップルとサボテンはアルキメデスのらせんが何本もあります。
右回りと左回りの両方とも数を数えることができます。
カタツムリはたいてい
右巻きです。
この二つは種類が違います。
らせんの角度も違います。
貝は等角の角度に
よっても分類する
ことができます。
サザエも等角らせんですが、その蓋も見事ならせんを描いています。
勾玉もらせんを描いています。勾玉は何をかたどった
ものなのでしょうか。
34、「フィボナッチ数列」と「黄金分割」と「等角らせん」が同じことの証明 
物の葉のつき方もらせんになっている。上の葉を真上から見ると、5番目で重なる。8番目で重なるのが左。
詳しくは【ユークリッドの世界】のページへ。
右の写真はコウイカの背骨。これも等角らせんを描いている。
左はキク科の花。もちろん種もらせん状に並ぶ。
ひまわりの種がらせん状に並ぶのは花がらせん状に並ぶからです。
花は葉と同じ器官ですから、葉のつき方を適用できます。
愛知万博のアフリカ館で千円で買ったアンモナイト。
キュウリやぶどうのツルはスプリングの役目もしています。リンク【植物に関するQ&A】 アサガオなぜつる巻くの? 重力感知遺伝子に役割 アサガオがつるを巻くのは、重力を感じて上向きに成長させる特定の遺伝子に、茎の先端に円を描かせる機能があるから。東北大大学院生命科学研究科の高橋秀幸教授(植物生理学)や基礎生物学研究所(愛知県岡崎市)などのグループがアサガオのつる巻きの謎を解明し、米科学アカデミー紀要に発表した。
キュウリのつる。不思議なことに途中から巻き方が変わる。右側も途中から巻き方が逆になっている。ウリやブドウなどのつるは途中で巻く方向が逆転している。なぜでしょうか?途中から逆になっていると考えるのではなく、つるの先端が巻きついた後にスプリングを作ると考えれば、先端側と元の側に同数のスプリングができるはずです。
先端がものに触れて巻きつくと、この間のつるが今度は逆方向に巻き始めます。つるの先端部分の一方の側面を棒でこすると、つるはその方向に屈曲してこの棒に巻き付こうとします。触れた側の成長が抑制されるためと考えられています。この途中で逆転したスプリングのために、風や重みでも茎が保護され痛まない仕組みになっています。 進化論で知られるダーウィンが1880年に、つる巻き動作は重力感知能力と関係があるだろうと指摘していたが、未解明で論争が続いていた。グループの研究はダーウィンの仮説を証明する初の成果。高橋教授は「無重力環境ではつる植物は巻かないはず。どう成長するかスペースシャトルで実験したい」と話している。グループは、つるを巻かずに茎が垂れ下がる突然変異の「枝垂れアサガオ」に着目。植物が重力を感じ取る細胞をつくるのに必要な遺伝子の1つとされる「SCR遺伝子」の構造が、通常のアサガオと違うことを確認した。(共同通信)-2005年 12月6日7時3分更新
◇ツルを巻かずに垂れるしだれアサガオと、ツルを巻く普通のアサガオを比較。重力を感知する細胞の有無が決め手となることを最新の遺伝子科学で突き止めた。この細胞は、ツルが成長する際に「回転運動」を引き起こす。◇「進化論」のダーウィンも「重力が原因」と推測していたが、証明には至らなかった。アサガオは夏休みの宿題の定番だが、ダーウィンの“宿題”もこれで解決したようだ。(毎日新聞)12月6日18時38分更新

[137.5°の角度で葉や芽や種が出てくるわけ]
パイナップルを食べる前に写真を撮りました。5本と8本と13本のらせんができています。葉序も黄金角に近いようです。
松ぼっくりの研究】を参照。
教室に飾ってある花です。名前はわかりませんが、多分キク科の花でしょう。
これらの花にもらせんがあります。
上の花は21本のらせんを数えました。
もちろん白い花のおしべやめしべもらせん状です。
大江戸の町づくり

江戸の町もらせんを描いています。大都市江戸の町づくりの秘密はここにあります。 
左の花は13本のらせんを数えました。
上から見て右回りのらせんが認められますね。めしべが飛び出ています。
オウムガイ。落として割ってしまった。見事ならせんである。ノーチラス号を思い出す。ホネガイの仲間。ホネガイには角(棘)が出ている。殻口の外唇も大きく開いている。なぜだろう?
角(棘)が出ている貝は、等角螺旋の成長には合わないと思っていたが、成長する時は棘まで一気におこなうことがわかった。棘は殻口の外唇が開くことでできると思われる。左の貝を上から見たもの。棘まで大きくしてから一休みして、また次の棘まで殻を大きくするという方法で成長している。

棘は波にさらわれたり、外敵から身を守るためにあるのだろう。




等角らせん(r=ae^(kθ))。このオウムガイの角度は99.7度。
このアワビの等角らせんの角度は118度〜120度。
このホタテは154度の等角らせん。

青と水色はアルキメデスの螺旋(r=aθ)。ただし、赤は等角らせんで合いません。
右側は同じ角度で点を打っていたもので、これがアルキメデスの螺旋になる理由です。
モクレンの花の実
螺旋の本数は3・5・8。
brocorie.jpg(15514 byte) 左:椿の花。きれいに並んでいますね。螺旋の本数を数えてみてください。アルキメデスの螺旋が5本と8本あります。

右:ブロッコリも良く見ると螺旋を描いている。このまま育てると菜の花のように開く。
ネジバナ。右ねじりと左ねじりの花を見つけました。上から見て、時計回りとその逆はうちの庭には半数ずつありました。ネジバナは茎がねじっているようです。茎のねじりはどのような法則でおきているのでしょうか。

この城の石垣は等角らせんを描いています。このような石垣の曲線を「武者返し」といい、上にいく程反りが大きくなる。積む石を相似形に小さくしていくと必然的に対数らせんになるが、そんな面倒なことをしたかどうかはわからない。
生き物ではないが、人間が作った物ということで載せてみた。

富士山も部分的に等角らせんを描いている。ただし、富士山は反り返らないからあくまで近似的な曲線だ。

富嶽三十六景も等角らせんに近い。葛飾北斎は見たままを描いたのだろうか。

スーパーに買い物に行くとき、カリフラワーをよく観察する。時々きれいなフラクタルを描いているのに出会う。今日は思わず買ってしまった。カリフラワーやキャベツは大きくなると、開いて花を咲かせる。だから、らせんを描いている。

数学で”解く“生物美
京都新聞11月12日
 単細胞の藻類「ケイソウ」の模様が、オウムガイの殻などに見られる「対数らせん」構造になっていることを、元エンジニアの有田重彦さん(78)=大津市皇子が丘2丁目=と草津市の県立琵琶湖博物館学芸員が発見した。模様が数学的に説明できることを証明したもので、同博物館では「生物学や数学といった分野をまたぐ珍しい着眼点から生まれた成果。面白く意義深い」としている。
 有田さんは、ケイソウの顕微鏡写真を見て「美しい構造には理由があるはず」と考え、丸いケイソウ「コアミケイソウ」の一種を、同博物館の大塚泰介、戸田孝両学芸員と協力して5月から調べてきた。
 コアミケイソウは世界中の海に分布。外殻部分に「胞紋」という六角形に近い微細な穴があり、幾何学的な模様を作っている。胞紋の並びを計算した結果、殻の縁との角度が常に60度で、数学的なパターンに従う独自の対数らせん状になっていることを突き止めた。
 有田さんは「エンジニアとして図面を見ていた経験からひらめいた。今後も、なぜ美しい形になるのかを別のケイソウでも追い求めていきたい」と話している。

 こんな記事を読んだ。珪藻は植物に近いから対数らせんではなくアルキメデスらせんになるのではないかというのが最初の疑問だった。
 さっそく珪藻類【中心型珪藻のなかま(縦溝を持たず、中心対称の殻を持つグループ)】の写真を集めてみた。「胞紋」が表面にきれいに並んでいる。一つの「胞紋」に対して回りに6個の「胞紋」が並んでいるが、それだと平面になってしまう。球面になるためには12個だけ回りに5個並んでいることが必要だが。
 放射状または六角形が整列しているものの中に、らせん状に「胞紋」が並んでいるのがあった。その写真を取り込んでグラフを当てはめてみると、確かに対数らせんである。ヒマワリやサボテンのようにアルキメデスらせんにはなっていない。なぜだろう。
 「胞紋の並びを計算した結果、殻の縁との角度が常に60度で、」と書いてある。縁がどこを示すのかがわからないが、角度が中心に対して一定なら対数らせん(等角らせん)になる。
 珪藻は植物というよりも貝類に近いのかもしれない。

この写真は珪藻の仲間である。ほとんどが六角形の胞紋のなかに、五角形と七角形の胞紋がある。数を数えてみたら、五角形が66個で、七角形が63個。
何か法則があるのではないだろうか。六角形だと同じ大きさで無理なく平面を覆うことができる。
オイラーの多面体定理。
籠目(カゴメ)編みとフラーレン
オイラーの多面体定理により、 閉曲面の場合は、五角形の数をχ、六角形の数をy、七角形の数をzとすると、 (5χ+6y+7z)/3+(χ+y+z)−(5χ+6y+7z)/2=2 で、χ−z=12となる。
ここで、面を一つ取ると平面になり、 (5χ+6y+7z)/3+(χ+y+z)−(5χ+6y+7z)/2=1 で、χ−z=6となり、五角形の数は七角形の数よりも6つ多いことを示しているが、これが本当に平面を示しているのだろうか。フラーレンでは半球になる。完全な平面ではない。実際に数えた感じではχとzの数は同じ様な気がする。

同じく中心型珪藻の一種。これは真ん中に一つ七角形があり、他は六角形となっている。従って全体として七角形となっている。フラーレンでこれを作ると、次のような負の曲面になるが、これは平面である。【10、七角形の周りは負の曲率になる

右は、別の珪藻。これを見ると、小さな胞紋は五角形。そして七角形もある。らせんになる原因はこの五角形と七角形にあるような気がする。

参照【珪藻の部屋

PLUSのフィットカットカーブのはさみ。刃の角度がいつも同じになっている。その角度が30度の時が一番切りやすいという。

先の方になっても刃の角度は変わらない。それは、このはさみのカーブが等角らせんになっているから。

この二つのカーブのなす角度は30度。このホタテガイの二つの曲線とのなす角度は48度。
フィットカットカーブは人間の爪の曲線とほぼ同じようだ。


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